На перший погляд, приклад 2 + 6 : 2 × 3 − 4 здається простим, однак без правильного порядку дій легко отримати неправильну відповідь.
У математичному прикладі немає дужок, тому результат залежить від загальноприйнятого порядку виконання арифметичних дій. Спочатку потрібно виконати множення та ділення, а потім – додавання й віднімання. При цьому множення та ділення мають однаковий пріоритет, як і додавання з відніманням, тому дії одного рівня виконують зліва направо.
Спочатку виконуємо ділення, потім множення, а після цього – додавання та віднімання:
Отже, правильна відповідь – 7.
Одна з поширених помилок – виконувати всі дії послідовно зліва направо, не враховуючи їхнього пріоритету. У такому разі спочатку додають 2 і 6, потім ділять отримане число на 2, множать на 3 та віднімають 4:
Так можна отримати результат 8, але він неправильний, оскільки ділення та множення потрібно виконати до додавання.
Такий результат може показати й простий калькулятор, який обчислює вираз послідовно після натискання кожної клавіші. Тому важливо розуміти порядок дій, а не покладатися лише на автоматичні обчислення пристрою.
Ще одна помилка – спочатку виконувати додавання та віднімання, а вже потім ділення й множення. За такого підходу можна отримати вираз, якого в початковому прикладі немає:
Результат −4 відповідає іншому виразу – (2 + 6) : 2 × (3 − 4). У ньому додано дужки, які змінюють порядок обчислень. Без них виконувати додавання та віднімання першими не можна.
Ще одна поширена помилка виникає через неправильне запам’ятовування правил: дехто вважає, що множення завжди має пріоритет над діленням.
Якщо в початковому прикладі спочатку перемножити 2 і 3, вийде:
Однак такий порядок дій неправильний. Множення та ділення мають однаковий пріоритет, тому їх виконують зліва направо. Саме це правило дає правильну відповідь – 7.
В англомовних країнах для запам’ятовування порядку арифметичних дій використовують спеціальні скорочення. У США поширене позначення PEMDAS, а у Великій Британії – BODMAS.
Обидва скорочення нагадують про дужки, степені, множення, ділення, додавання та віднімання. Важливо, однак, не сприймати послідовність літер як правило, за яким множення завжди виконується перед діленням. Ці дії мають однаковий пріоритет, як і додавання з відніманням.
Чому в математиці використовують крапку для множення та двокрапку для ділення
Позначення арифметичних дій також мають власну історію. Знак множення у вигляді похилого хрестика запровадив англійський математик Вільям Отред у першій половині XVII століття. Натомість Готфрід Вільгельм Лейбніц запропонував використовувати крапку для множення, оскільки хрестик міг нагадувати літеру x, яку застосовують для позначення невідомої величини в алгебрі.
Лейбніц також використовував двокрапку як знак ділення. Саме ці позначення – крапка для множення та двокрапка для ділення – використовують у багатьох шкільних математичних записах.