Євген Степанович народився 25 лютого 1914 року в м. Катеринослав (нині – м. Дніпропетровськ) у сім’ї робітників.
Після закінчення у 1932 році педагогічного технікуму в м. Зінов’євськ (нині – м. Кіровоград) вчителював у початковій школі.
Навчався у Катеринославському гірничому інституті на геологічному факультеті, але, провчившись два роки, Євген Степанович зрозумів, що його покликання – педагогічна діяльність. Його направили до Веселівської школи Межівського району викладати математику.
З 1933 по 1939 роки працював спочатку вчителем, а потім завучем та директором Новоселицької середньої школи (Дніпропетровщина). Пізніше був завідувачем районного відділу народної освіти.
У 1938 році закінчив вчительський інститут у м. Бердянськ.
До початку Великої Вітчизняної війни працював завідувачем Львівського міського відділу народної освіти.
З перших днів війни переїхав до Дніпропетровська, де брав участь у підпільній роботі в тилу ворога.
Після визволення у жовтні 1943 року Дніпропетровська працював завідувачем сектору Дніпропетровського обкому КП(б) України.
Наприкінці 1943 року Є. С. Березняка направляють на навчання до агентурної школи ГРУ ГШ Радянської Армії, після закінчення якої його призначають командиром диверсійно-розвідувальної групи. Всього командування фронту отримало від групи Євгена Березняка (його позивний – “Голос”) понад 140 радіограм з цінними розвідувальними відомостями щодо військ та об’єктів німців, розташованих у Кракові та його передмістях. Ці відомості мали дуже важливе значення для планування та успішного проведення військами 1 Українського фронту операції з розгрому краківського угруповання противника. Своїми діями диверсійно-розвідувальна група Березняка врятувала десятки тисяч життів радянських воїнів і мирних польських жителів, а також сам Краків від руйнування.
Після війни до 1952 року Євген Степанович працював на керівних посадах в органах народної освіти Львова.
У 1946 році він закінчив Львівський педагогічний інститут.
З 1952 по 1984 роки – займав високі посади в системі народної освіти Укрзалізниці та Міністерства освіти УРСР.
Останні роки своєї трудової діяльності до 1998 року працював старшим науковим співробітником Інституту педагогіки Академії педагогічних наук України.
Указом Президії Верховної Ради СРСР “за зразкове виконання завдань командування в тилу противника та проявлені при цьому мужність і відвагу” Є. С. Березняк був нагороджений орденом Вітчизняної війни І ступеня.
Через рік відомий письменник Юліан Семенов на основі архівних матеріалів ГРУ ГШ СРСР про діяльність розвідгрупи Євгена Березняка написав повість “Майор Вихор”, за якою згодом було знято однойменну кінострічку.
У 1971 році у видавництві “Молода гвардія” вийшла з друку книжка Є. С. Березняка “Я – Голос”, яка під різними назвами (“Пароль “Dum spiro…”, “Операція “Голос”) загальним тиражем у понад 2 мільйони примірників п’ять разів перевидавалася в Україні, Польщі, Болгарії, Узбекистані, Росії. Крім того, на екрани в різні роки виходили документальні фільми, присвячені Євгену Березняку.
У 2001 році Євгену Степановичу Указом Президента України “за особисту мужність і відвагу, героїзм і самопожертву, проявлені під час виконання особливо важливих завдань в роки Великої Вітчизняної війни” присвоєно звання Герой України. Указом Президента України у 2005 році йому присвоєне військове звання “генерал-майор”.
Євген Степанович нагороджений вищими військовими нагородами Польщі, численними орденами, медалями та відзнаками колишнього СРСР, України, Російської Федерації та громадських організацій, є почесним громадянином Києва, Дніпропетровська, Кракова, Новомосковська Дніпропетровської області, почесним співробітником Головного управління розвідки Міністерства оборони України, почесним солдатом Воєнно-дипломатичної академії, почесним академіком та професором багатьох навчальних закладів України.
Керівництво Міністерства оборони України та Генерального штабу ЗС України, колектив Головного управління розвідки Міністерства оборони України та підпорядкованих військових частин сумує з приводу смерті Березняка Є. С. і висловлює щирі співчуття рідним та близьким покійного.
